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Estudo da Circunferência
Definições
Equação reduzida da Circunferência
Reconhecimento da equação da circunferência
Posições relativas entre Ponto e Circunferência
Posições relativas entre Reta e Circunferência
Posições relativas entre duas Circunferências
Exercícios Propostos

Muitos alunos se confundem em reconhecer a função cujo gráfico representa uma elipse, que é uma cônica (derivada de uma seção no cone), com a representação de uma circunferência.

Exemplo:
(x - 2)2 + (y - 4)2 = 9 (representa uma circunferência)
x2/144 + y2/16 = 1 (representa uma elipse)

Devido a isto é interessante complementar o estudo das Cônicas com este pequeno resumo do Estudo da Circunferência.

Definição

O conjunto dos pontos do plano equidistantes de um ponto fixo C, denominado de centro, é chamado de circunferência. A medida da distância de qualquer ponto da circunferência ao centro C é constante , e denomina-se raio (R).

Equação reduzida da Circunferência

Seja o gráfico abaixo:

A equação reduzida da circunferência expressa a distância entre os pontos C e P, através de suas coordenadas e pode ser escrita como:
(x - a)2 + ( y - b)2 = R2
já que a distância entre dois pontos A(xA , yA) e B(xB,yB) é dada por:
d2 = (xB - xA)2 + (yB - yA)2
Assim, um ponto P(x,y) qualquer só pertencerá a circunferência se e somente a sua distância ao centro C for igual ao raio R.
Exemplo:
Seja uma circunferência cuja equação é:
(x - 2)2 + (y - 3)2 = 100
Verificar se a circunferência passa pela origem ,quais as coordenadas do centro e quanto vale o raio
Pela expressão temos que:
R = 10 e C(2,3)
Fazendo x=0 e y=0, temos que:
(-2)2 + (-3)2 = 13
Como 13 é diferente de 100, logo a circunferência não passa pela origem

Reconhecimento da equação da circunferência

A equação geral da circunferência apresenta a seguinte forma:
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Vimos que a forma reduzida é dada por:
(x - a)2 + (y - b)2 = R2 (I)
Agrupando os termos em x e y e isolando-se o C, temos que
(x2 + Ax) + (y2 + By) = -C
Adicionando-se A2/4 e B2/4 em ambos os membros da equação para obtermos os quadrados perfeitos, temos que:
(x2 + Ax + A2/4) + (y2 + By + B2/4) = -C + A2/4 + B2/4
Ou ainda:
(x + A/2)2 + (y + B/2)2 = (A2 + B2 - 4C) / 4 (II)
Se compararmos a equação reduzida (I) com esta nova equação (II), temos que:
R2 = (A2 + B2 - 4C) / 4
a = -A/2
b = -B/2
Então podemos sempre afirmar que:
a) Se (A2 + B2 - 4C) / 4 > 0, então teremos uma circunferência de centro C(-A/2,-B/2) e o raio R
b) Se (A2 + B2 - 4C) / 4 = 0, teremos um ponto único como representação, já que R = 0
c) Se (A2 + B2 - 4C) / 4 < 0, não existem valores possíveis, já que R < 0.
Exemplo:
Verificar se x2 + y2 - 6x - 8y + 49 = 0 representa o gráfico de uma circunferência.
Pela equação geral sabemos que x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Da equação dada, temos que:
A=-6
B=-8
C=49
Então
R = [(-6)2 + (-8)2 - 4.49] / 4 = -24
Como R é negativo a equação fornecida não representa uma circunferência.

Posições relativas entre Ponto e circunferência

Seja um ponto P(x,y) e C(a,b) o centro de uma circunferência de raio R. Então temos 3 possibilidades:
a) d(C,P)=R
Se a distância de P ao centro é igual ao raio R, então P pertence à circunferência, ou seja:
(x-a)2 + (y-b)2 = R2
b) d(C,P) < R
Se a distância de P ao centro C é menor que o raio R, então P é interno à circunferência, ou seja:
(x-a)2 + (y-b)2 < R2
c) d(C,P) > R
Se a distância de P ao centro C é maior que o raio R, então P é externo à circunferência, ou seja
(x-a)2 + (y-b)2 > R2
Exemplo:
Qual a posição de P(-1,1) em relação à circunferência x2 + y2 + 5x + 7y - 14 = 0?
Então
(-1)2 + 12 + 5(-1) + 7(1) - 14 = -10
Então P(-1,1) é interno à circunferência

Posição relativa entre reta e circunferência

Seja uma reta r em relação a uma circunferência c. Podemos ter 3 possibilidades:
a) interseção de c e r em dois pontos
Neste caso a distância do centro à reta é menor que o raio, ou seja d(c,r) < R (secantes)
b) interseção de c e r em um único ponto
Neste caso, a distância do centro à reta é a medida do raio, ou seja d(c,r) = R (tangentes)
c) interseção de c e r vazia
Neste caso a distância do centro à reta é maior que o raio, ou seja d(c,r) > R (externas)
Exemplo:
Determinar a posição da reta r dada por y = x + 5 em relação à circunferência x2 + y2 - 6y + 5 = 0.
Calculando as coordenadas do raio temos que:
C(-0/2,6/2) = C(0,3)
Calculando o raio R2 = (02 + (-6)2 - 20) /4 = 4 donde R = 2
Calculando a distância do centro C à reta x - y + 5 = 0, temos que
d(C,r) = [ |1.0 + (-1).3 + 5| ] / (1 + 1)1/2 = 21/2
Comparando a distância 21/2 com o raio 2, vemos que 21/2 < 2 , logo d(C,r) < R, ou seja a reta corta a circunferência em dois pontos (são secantes)

Observação:
a fórmula utilizada em d(C,r) = ( |ax + by + c| ) / (a2 + b2)1/2 é a fórmula da distância de um ponto a uma reta.

Posição relativa entre duas circunferências

Dadas duas circunferências C1 e C2, temos 3 possibilidades
a) as circunferências se cortam em dois pontos (secantes)
Neste caso, a distância entre os centros das duas circunferências é menor que a soma de seus raios, ou seja d(C1,C2) < R1 + R2
b)as circunferências se tocam em um único ponto (tangentes)
Nesta caso podemos ter 2 possibilidades, ou elas se tangenciam externamente ou internamente.
b.1)externamente
Neste caso a distância entre os centros se iguala à soma dos seus raios, ou seja d(C1,C2) = R1 + R2
b.2)internamente
Neste caso a distância entre os centros é igual ao módulo da diferença dos respectivos raios, ou seja d(C1,C2) = | R1 - R2 |
c) As circunferências não se tocam (são externas)
Neste caso, podemos ter 2 possibilidades ou elas são internas ou externas
c.1)externas (interseção vazia)
Neste caso a distância entre os centros é maior que a soma dos raios, ou seja d(C1,C2) > R1 + R2
c.2)interna (interseção igual a circunferência de menor raio)
Neste caso a distância entre os centros é menor que o módulo da diferença dos respectivos raios, ou seja d(C1,C2) < | R2 - R1 |
Exemplo:
Determinar a posição relativa da circunferência (A1) x2 + y2 - 16x + 48 = 0 em relação à circunferência (A2) x2 + y2 -4x = 0
Vamos calcular C1 e R1
C1(16/2,0/2) = C1(8,0)
R2 = (256 + 0 -192) / 4 = 16 donde R1 = 4
Vamos calcular C2 e R2
C2(4/2,0/2) = C2(2,0)
R22 = (16 + 0 - 0) / 4 = 4 donde R2 = 2
Assim, temos que R1 + R2 = 6
Calculando a distância dos centros temos que:
d(C1,C2) = [ (2-8)2 + (0-0)2 ] 1/2 = 361/2 = 6
Comparando a distância com a soma dos raios vemos que são iguais, logo as duas circunferencias se tangenciam externamente.

Exercícios propostos

1) Verifique se a equação 2x2 + 2y2 + 4x - 12y +22 = 0 representa uma circunferência qualquer.
Resposta: Não se trata de uma circunferência

2)Escreva as equações das retas verticais tangentes à circunferência x2 + y2 + 6x - 2y + 6 = 0
Resposta: x = -5 e x = -1

3)Obter as equações das tangentes à circunferência x2 + y2 = 9 que sejam paralelas à reta 2x + y - 1 = 0
Resposta: 2x +y +3.51/2= 0 e 2x + y - 3.51/2 = 0

4)Determinar as equações das tangentes à circunferência x2 + y2 - 6x -8y +24 = 0 que sejam perpendiculares à reta 3x + y +1 =0
Resposta: x - 3y + 9 + 101/2 e x - 3y + 9 - 101/2

5)Escrever a equação reduzida da circunferência de centro C(2,5) e raio = 7
Resposta: (x-2)2 + (y-5)2 = 49

6)Obter a equação da circunferência com centro no ponto C(7,10) e que passe pelo ponto P(10,14)
Resposta: (x-7)2 + (y-10)2 = 25

7)Determinar m real para que a equação x2 + y2 - mx -10y +25 = 0 tenha como gráfico uma circunferência
Resposta: m>0

8)Sabendo-se que a reta de equação y = x+5 e a circunferência de equação x2 + y2 - 6y + 5 = 0 são secantes, calcular as coordenadas dos pontos de interseção.
Resposta: A(0,5) e B(-2,3)

9)Determinar a posição relativa da circunferência x2 + y2 - 4x - 6y - 3 = 0 em relação à circunferência x2 + y2 + 6x + 2y + 1 = 0
Resposta: São secantes

10)Determinar as coordenadas dos pontos comuns, se existerem, entre as circunferências x2 + y2 - 16x + 48 = 0 e x2 + y2 - 4x = 0
Resposta: P(4,0)

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