A aplicação da trigonometria, baseado no triângulo retângulo, se dá na vida prática de várias maneiras. Várias aplicações poderiam ser citadas. Entre estas, duas serão especificadas a seguir:


a) Aplicações no cálculo de distâncias:

Tanto na engenharia civil, quando se torna necessário conhecer as distâncias e altura dos elementos físicos(prédios, ruas, montanhas, etc) quanto na engenharia dos astros, quando se torna necessário conhecer as distâncias de elementos físicos no espaço sideral, temos longo emprego da trigonometria.
Os projetos de engenharia, que são elaborados para resolver as questões citadas, baseiam-se sempre num modêlo matemático,que empregará as relações métricas em um triângulo retângulo.
Vejamos alguns exemplos para uma compreensão melhor do que está sendo abordado.

1) O ângulo de elevação do pé de uma árvore, a 50 m da base de uma encosta, ao topo da encosta é de 60º. Que medida deve ter um cabo para ligar o pé da árvore ao topo da encosta?
Pela figura podemos estabelecer um modêlo matemático( no caso, o triângulo retângulo assinalado) onde:

afastamento da árvore(cateto menor) = 50m
ângulo de visão do solo = 60º
distância do cabo(hipotenusa) = x

Sabemos que cos 60º = 50 / x e que cos 60º = 1/2, então
Então : 1/2 = 50 / x
Logo, o cabo deverá medir 100 metros.

2) Do alto da torre de uma plataforma marítima de petróleo, de 45 m de altura, o ângulo de depressão em relação à proa de um barco é de 60º. A que distância o barco está da plataforma ?
Pela figura, podemos estabelecer um modelo matemático onde:

Altura da plataforma(cateto maior) = 45m
angulo de depressão = 60º, então o ângulo adjacente ao outro cateto é de 30º
distância do barco à plataforma = x

Sabemo que tg 30º = x / 45 e que tg 30º = 3^1/2 / 3

Então:
3^1/2 / 3 = x / 45 logo, x = 45.3^1/2 / 3 = 15. 3^1/2
Logo, o barco se encontra a aproximadamente 26 metros da plataforma.

3) De um ponto A uma pessoa enxerga o topo de um obelisco, segundo um ângulo de 45º. Ao se aproximar 50m do obelisco ele passa a ver o topo sob um ângulo de 60º. Qual é a altura desse obelisco?
Pela figura, podemos estabelecer um modelo matemático, onde:

ponto A - 1º ponto de observação, sob um ângulo de 45º
ponto B - 2º ponto de observação, sob um ângulo de 60º
y - distância do ponto atual (após andar 50m) ao pé do obelisco
x - altura do obelisco

Temos que:
tg 45º = x / (50+y), logo 1 = x / (50+y), ou 50 + y = x, ou melhor y = x - 50 (I)
Por outro lado:
tg 30º = y / x (II)
Substituindo-se em (II) o valor de y de (I), temos que
3^1/2 / 3 = (x - 50) / x
Resolvendo, teremos que x = 150 / (3 - 3^1/2)
Ou ainda
x = 150(3 + 3^1/2) / 6 = 25(3+3^1/2)
Logo a altura do obelisco é de aproximadamente 118 metros.

4) Uma estação espacial que gira numa órbita estacionária afastada 600km da superfície da Terra avista um OVNI (objeto voador não identificado) numa direção perpendicular à linha imaginária de distância à Terra. Sabendo-se que a estação terrestre avista o mesmo objeto sob um ângulo de 30º desta linha imaginária, pergunta-se: a que distância o OVNI encointra-se da Terra?

Pela figura, podemos estabelecer um modelo matemático, onde:

distância da estação orbital à Terra = 600 km
(ângulo de visão da estação terrestre) = 30º
(direção perpendicular à linha imaginária que liga as duas estações) = 90º
(distancia do OVNI à Terra) = x

Então, temos que:
cos 30º = 600 / x, ou seja 3^1/2 / 2 = 600 / x
Logo,
x = 1200 .3^1/2 / 3 = 400. 3^1/2
Logo, o OVNI encontra-se afastado da Terra aproximadamente 690km.

b) Aplicações no cálculo da estática

Entre as muitas aplicações da trigonometria nos fundamentos da Física, podemos destacar o estudo da Estática.
Os sistemas de forças que atuam em um corpo estático e que tem larga aplicação no nosso dia a dia, são realizados com o auxílio dos elementos da trigonometria

Como exemplo, seja o seguinte problema:

Determinar a resultante do sistema de forças que atua num ponto determinado P.

Sendo
F₁ = 10 N e a = 20º
F₂ = 20 N e b = 30º
F₃ = 30 N e c = 60º

Primeiramente vamos obter as projeções de cada força na horizontal e vertical
Na horizontal, temos:
F_1x = 10 cos 20º = 9,4 N
F_2x = -20 cos 30º = -17,3 N
F_3x = -30 cos 60º = -15 N
Na vertical, temos:
F_1y = 10 sen 20º = 3,4 N
F_2y = 20 sen 30º = 10 N
F_3y = -30 sen 60º = 26 N
Assim, a resultante com a orientação no eixo x será aproximadamente:
F_rx = 9,4N - 17,3N - 15N = - 23N
E a resultante no eixo dos y será aproximadamente:
F_ry = 3,4N + 10N - 26N = -13N

Representando estas forças resultantes, podemos descobrir a resultante final, ou seja:

Para calcular o ângulo A de orientação F_r, temos que:
tg A = -13 / -23 = 0,5652
Pela tabela de valores trigonométricos, verifica-se que A mede aproximadamente 30 graus
Para determinar a intensidade da resultante, fazemos:

F_r = F_rx / cos A = -23 / 0,87 = -26,6N
Então o sistema de forças citado está submetido a uma força de aproximadamente de -27N.

Este é um pequeno exemplo da importância da trigonometria na vida prática